Ponto fora da reta

Uma expressão usada por profissionais de algumas áreas é “ponto fora da reta”, significando algo incomum ou distante da média. Por exemplo, os recentes dados de alta da inflação são um ponto fora da reta ou representam uma tendência?

Esta expressão vem do processo de se obter a melhor função que represente pontos em um gráfico, processo esse chamado regressão. A função mais simples que podemos usar para representar pontos é uma reta, daí o nome ajuste de reta [1]. O ajuste de reta nos permite estimar o valor de uma função, no caso de estarmos acompanhando a posição de um corpo no decorrer do tempo, por exemplo; podemos também, digamos, a partir de dados de tensão e corrente em um resistor, determinar sua resistência, que será dada pela inclinação da reta obtida no ajuste.

Figura 1: a corrente que flui por um resistor depende de sua resistência e da tensão aplicada §.

Vamos supor que temos dados da posição de uma partícula qualquer na direção x, em função do tempo t, e uma reta obtida a partir do ajuste feito por (um método chamado) mínimos quadrados. Existe um ponto que não se ajusta bem à reta obtida: esse é o ponto fora da reta, e representa um momento em que o corpo agiu de maneira pouco usual.

Figura 2: x em função de t, e a reta obtida a partir de ajuste. O ponto x=11 está fora da reta.

Pode-se usar outras funções além da reta, daí a expressão “ponto fora da curva”, que tem exatamente o mesmo significado. Em 2005, por exemplo, o então ministro da economia usou esta expressão para dizer que a retração do PIB no terceiro trimestre daquele ano era um fato isolado [2].
[1] Fundamentos da Teoria de Erros, José Henrique Vuolo, Ed. Edgar Blücher Ltda, 2ª edição pg 171 (1993)
[2] http://www.financeone.com.br/noticia.php?lang=br&nid=15543

Sociedade do Estado Sólido

Os metais têm papel central no estudo do estado sólido, tendo sido foco de grande parte do avanço teórico nesta área (algumas razões são o fato de os metais serem bons condutores de eletricidade e calor, e a maior parte dos elementos serem metais), embora o estado sólido da matéria inclua outros tipos de materiais. Entretanto é aos semicondutores que as pessoas geralmente se referem ao usar o termo “estado sólido”, tanto que o título deste blog é também o título de um anime da série Ghost In The Shell, uma referência ao avanço dos microprocessadores no futuro mostrado no desenho japonês.

Uma pessoa de fundamental importância no desenvolvimento da física do estado sólido foi John Bardeen. Ele graduou-se em engenharia e, pouco depois, em 1930, foi um dos pioneiros a usar métodos geofísicos na prospecção de petróleo. Mais tarde obteve seu Ph.D. em física-matemática em Princeton, e deu aulas na Universidade de Minnesota, até que a Segunda Guerra o levou a trocar temporariamente a universidade por um laboratório de pesquisas da marinha norte-americana [1]. Após a guerra, Bardeen foi para os laboratórios Bell, onde desenvolveu pesquisas que o levariam à descoberta do transistor, que lhe daria seu primeiro Nobel de física, junto com William Bradford Shockley e Walter Houser Brattain.

Figura 1: John Bardeen, William Shockley e Walter Brattain §.

Os semicondutores a temperatura de zero absoluto não são capazes de conduzir eletricidade; apenas quando há defeitos na sua estrutura eletrônica, seja por agitação térmica, ou por adição de impurezas, é que eles são capazes de conduzir corrente elétrica. Alguns átomos, ao serem introduzidos no material semicondutor, podem perder elétrons: são as impurezas doadoras; já os átomos que ao serem inseridos no material semicondutor podem absorver elétrons são chamados receptores [2].

Na figura 2 vemos um gráfico simplificado da densidade de carga elétrica em função de x, sendo x a direção onde há a variação de cargas em nosso dispositivo semicondutor. O campo elétrico formado no limiar entre as regiões predominante doadoras, carregadas positivamente, e receptoras, carregadas negativamente, oferece um obstáculo à corrente elétrica que tenta fluir no sentido receptor-doador, permitindo a fabricação de dispositivos retificadores (que controlam a passagem de corrente), e um estímulo à corrente que tenta fluir no sentido doador-receptor, possibilitando a construção de amplificadores [3,4].

Figura 2: a corrente elétrica I pode ser formada por um fluxo de “buracos” (ausência de elétrons na estrutura eletrônica) no mesmo sentido, e por um fluxo de elétrons no sentido contrário. A diferença de potencial devido às cargas pode filtrar correntes com sentido para a direita, e pode amplificar correntes com sentido para a esquerda.

A primeira aplicação do transistor foi em rádios de bolso na década de 1950, devido ao seu tamanho reduzido e pequeno consumo de energia, substituindo assim as antigas válvulas. Hoje em dia o transistor é usado em chips de memória e microprocessadores, onde o transistor atua ligando e desligando a corrente no circuito; estes dois estados, ligado e desligado, correspondem aos números 1 e 0 usados em computadores [5].

Figura 3: aparelhos eletrônicos como tocadores de mp3 fazem uso de dispositivos de semicondutores para armazenamento e processamento de dados.

Alguns anos depois Bardeen tornou-se a primeira (e até hoje a única) pessoa a ganhar dois prêmios Nobel de física, desta vez com Leon Neil Cooper e John Robert Schriefer, pelo desenvolvimento de uma teoria que explicava o desaparecimento da resistência em metais a baixas temperaturas, a supercondutividade. Essa teoria é conhecida hoje como Teoria BCS, as iniciais dos sobrenomes dos três pesquisadores.

[1] http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1972/bardeen-bio.html

[2] Semiconductor research leading to the point contact transistor, John Bardeen, Nobel Lecture, December 11, 1956

[3] Physical Principles Involved in Transistor Action, J. Bardeen e W. H. Brattain, Phys. Rev. 75, 1208 - 1225 (1949)

[4] Solid State Physics, N. W. Ashcroft e N. D. Mermin, Saunders College Publishers, pg 598 (1976)

[5]http://www.britannica.com/EBchecked/topic/602718/transistor/236464/Development-of-transistors#ref=ref228682

A base da Babilônia

Os babilônios estiveram entre os primeiros a contribuir para o desenvolvimento da matemática. Por babilônio geralmente entende-se os povos habitando a região entre os rios Tigris e Eufrates, em uma região conhecida como Mesopotâmia, e hoje parte do Iraque. Os babilônios possuíam um sistema numérico de base 60 e notação posicional [1]. Eles usaram o sistema de base 60 para dividir o minuto (medida de tempo) e o grau (medida angular) em 60 partes, o que ainda é feito até hoje.
O sistema de números que aprendemos é o de base 10, e ele nos parece tão natural, que nem nos damos conta de sua existência. Base 10 significa que cada algarismo em um número na verdade é um múltiplo de uma potência de 10, e que temos 10 símbolos à nossa disposição, sendo 0 o primeiro, 1 o segundo, e assim por diante, até 9, o décimo símbolo. Assim, o número 3927 é nada mais do que 3 x 1000 + 9 x 100 + 2 x 10 + 7 x 1 (o último termo usa o fato de que qualquer número elevado a zero é 1). Um sistema de base muito pequena pode precisar de muitos símbolos para expressar um número. O número 3927, por exemplo, pode ser escrito com 3 símbolos em um sistema de base 60, mas precisa de 12 símbolos para ser escrito em um sistema de base 2 (binário, como é usado nos computadores). Um sistema de base muito grande também tem inconvenientes: imagine crianças tendo que decorar uma tabuada de multiplicação de 1x1 a 60x60!
É importante ter em mente que os algarismos só fazem sentido se soubermos a qual base numérica eles se referem. Por exemplo, na base sessenta, temos que f57= 15 x (3600) + 5 x (60) + 7 x (1) -> 54307 (na nossa base decimal). Já na base dezesseis: f57 = 15 x (256) + 5 x (16) + 7 x (1) -> 3927 (de novo na base decimal). A base dezesseis, ou hexadecimal, é às vezes usada em programação, por uma questão de conveniência; por exemplo, é mais fácil lembrar que o maior inteiro sem sinal que pode ser representado com 32 bits é ffffffff, em hexadecimal, do que 4294967295.

Figura 1: bases diferentes atribuem valores diferentes para os mesmos algarismos. 'f' é o décimo sexto símbolo, que não existe na base decimal.

A maior parte de nossas informações sobre a civilização e a matemática babilônica vêm de tábuas de argila. Os babilônios sabiam adicionar, subtrair, e conseguiam multiplicar e dividir inteiros; conheciam frações, quadrados, cubos, raízes quadradas e cúbicas. Também tinham conhecimento de álgebra, embora esta fosse verbal, sem uso de símbolos como fazemos hoje. Entretanto sua geometria era pouco desenvolvida, embora já conhecessem a área do círculo e o teorema de pitágoras [1].

Figura 2: almanaque astronômico babilônico inscrito em tábuas de argila [2]

Os babilônios usavam seu conhecimento de aritmética e álgebra simples para expressar comprimentos e pesos, trocar moedas e mercadorias, calcular juros simples e compostos, impostos, e a proporção de uma colheita que deveria ir pra o fazendeiro, para a igreja e para o Estado. Também usavam a matemática na divisão de campos e de heranças, e em projetos de canais, represas e sistemas de irrigação; os problemas econômicos que enfrentavam os estimulavam a desenvolver a matemática [1].

[1] Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, vol 1, Morris Kline, Oxford University Press, New York (1990) pg 4 a 11.
[2] http://www.roie.org/bab.htm